用复数方法证明三角恒等式

晨曦

用复数方法证明三角恒等式

曾写过:“复数,通往真理的最短路径”。复数的便利,在于它沟通了代数和几何。今天,让我们用复数方法证明三角恒等式。
理论基础

要借助复数证明三角恒等式,我们一般需要构造具有以下形式的复数:

这类复数具有许多好的性质,我们熟知的有:


此外,我们再引入另外两条常用的性质:

故:

同理可得:

累加

证明:设

则:

对比虚实部,即证

,得:


我们可以证明许多有趣的式子:


连乘

要证明与三角函数有关的连乘式,我们需要考虑多项式的分解,例如:


,于是有:

我们发现,如果我们代入 z=1 ,就能利用上述的 (3) ,得到关于 sin 的连乘式;如果我们代入 z=-1 ,就能利用上述的 (4) ,得到关于 cos 的连乘式

下面我们具体讨论以下两类不同的方程:

,则 w,w3⋯,w4m−3w,,个根

又因为,于是 w⋯,w2m−3,w2m+1⋯,,,的 2m−22m-2 个虚根

由因式分解,知:

代入,并置,z=1 得:

所以:

又因为,故:

代入 z=-1 得:

又因为,故:

于是:

,则的 2m−12m-1 个根

又因为,于是