用复数方法证明三角恒等式
用复数方法证明三角恒等式
曾写过:“复数,通往真理的最短路径”。复数的便利,在于它沟通了代数和几何。今天,让我们用复数方法证明三角恒等式。
理论基础
要借助复数证明三角恒等式,我们一般需要构造具有以下形式的复数:
这类复数具有许多好的性质,我们熟知的有:
此外,我们再引入另外两条常用的性质:
故:
同理可得:
累加
证明:设
则:
对比虚实部,即证
令
我们可以证明许多有趣的式子:
连乘
要证明与三角函数有关的连乘式,我们需要考虑多项式的分解,例如:
记
我们发现,如果我们代入 z=1 ,就能利用上述的 (3) ,得到关于 sin 的连乘式;如果我们代入 z=-1 ,就能利用上述的 (4) ,得到关于 cos 的连乘式
下面我们具体讨论以下两类不同的方程:
记
又因为
由因式分解
代入,并置
所以:
又因为
代入 z=-1 得:
又因为
于是:
记
又因为