极点与极线

晨曦 Lv4

极点与极线

极线可以通过以下的方法作出来(以椭圆为例):

过平面内任意一点 P (此时P在曲线内)作直线 AB 、 CD 与二次曲线交于 A 、 B 、 C 、 D 四点。直线 AD 与 BC 交于点 Q ,直线 AC 与 BD 交于点 R 。

则直线 QR 为极点 P 对该二次曲线的极线。
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接下来谈谈极线的有趣的性质,先考虑椭圆的情况。

椭圆

一、极点在椭圆上

当 P 点在曲线上时, P 、B 、 D 、 Q 四点重合,极线为 P 处切线。
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下面来证明:椭圆上一点处切线(极线)方程为

证明 两边对 xx 求导得:

代入 P(x0,y0)得:
则切线可表示为
整理得
所以 P(x0,y0)处切线(极线)方程为

二、极点在椭圆外

先给出结论:对于极点 P(x0,y0) 极线方程仍为
接下来证明:过 P(x0,y0) 作椭圆的两条切线,切点为 A , B ,则AB 的方程为
证明 设 A(x_1,y_1) , B(x_2,y_2) ,则两条切线分别为:

由于在两条切线上,

所以 A , B 满足方程
所以 AB 的方程为
因此,点对于曲线的极线,其实就是曲线的切点弦,也就是两切点所在的直线。
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三、极点在椭圆内

结论:对于极点,极线方程为

所以可以得到结论:过极点 P 作直线 AB 交曲线于 A 、 B 两点,则曲线在该两点的切线交于极点 P 的极线上。
特别地,以椭圆的焦点为极点时,极线的方程为,即,极线为焦点对应的准线。双曲线、抛物线同理。

对于曲线和点,极线方程为

  • 本文标题:极点与极线
  • 本文作者:晨曦
  • 创建时间:2022-12-17 15:50:07
  • 本文链接:https://www.xcx2006.github.io/2022/12/17/数学/文本文件7/
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